Моделирование сетями Петри поведения игроков на финансовом рынке

Шакирова Н.Ф. ( nessy@ptci.ru )

Московский физико-технический институт (государственный университет)

1. Введение

Финансовая инженерия в настоящее время понимается как набор методов, обеспечивающий конструирование технологий для фабрик по добыванию денег на фондовом рынке, которыми являются различные фонды и инвестиционные компании (например, в России - Тройка Диалог , АТОН, НИКОЙЛ, и др.).

В основе этих технологий лежат методы прогнозирования поведения рынка. Понятно, методы прогноза должны обладать определенной надежностью. Понятно и другое, что надежность обеспечивается соответствующим уровнем формализации, который заложен, как правило, в математическом моделировании. На каких методах анализа строится сегодняшняя система принятия решений в процессе торгов? Отметим три типа информации, которые используют аналитические группы для предсказания поведения финансового рынка и конструирования набора инструментов, эффективно использующего это поведение.

1. Классические методы стохастического анализа временных рядов (например, предложенные в [1]).

2. Методы технического анализа поведения рынка, использующие обобщенные понятия (тренды, тенденции и их последовательности - фигуры) (например, изложенные в [2]).

3. Аналитические обзоры и новостные ленты.

Аналитические обзоры выпускаются специальными группами экспертов и обладают жесткой структурой изложения, приближающую их к полуформальным языкам с четко очерченным семантическим полем. Методы такого анализа иногда называют talk-анализом. Аналитики и трейдеры, торгующие на рынке, с одной стороны отмечают, что они пользуются в основном результатами talk-анализа, но с другой стороны они хотели бы повысить уровень формализации для накопления, обобщения фактов, поиска прецедентов при принятии решений.

В настоящей статье описывается первая попытка построения формальной модели поведения рынка, которая существенно использует обработку аналитических отчетов. Процедура и технология обработки, которая названа нормализацией утверждений экспертов, в статье не излагается. Нормализованный язык представляет собой систему протоколов, описывающую отдельные (элементарные) акты (действия) игроков (участников) рынка и их влияние на рыночные характеристики (обычно это цены и объемы торгов).

Два вида протоколов нормализованного языка:

1) инициирование процессов: (список запускающих событий) - (имя игрока (процессора), имя процесса).

2) инициирование события: (имя игрока, имя процесса) - (генерируемое событие).

События связаны с моментом изменения характеристик рынка. Имена игроков связаны с их характерным поведением на рынке. Характерное поведение описывается списком процессов и их характеристиками. Все эти компоненты протоколов отмечаются экспертами в аналитических отчетах.

В качестве модели, которая использует систему протоколов, выбрана сеть Петри. Она позволяет связать в единое целое все протоколы и учесть взаимное влияние процессов друг на друга.

Формально сеть Петри изложена в [3] и представляет собой асимметричный граф с двумя родами вершин: одни вершины называются позициями, другие называются переходами. Позиции в сети обозначаются кружочками , а переходы - черточками (см. Рис. 1, 2 и 3).

Выделяются входные позиции, которые направлены на некоторый переход (например, на Рис. 3 позиция мп направлена на переход МП , а позиция ма направлена на переходы МАМ и МАБ ), и выходные позиции, на которые направлены дуги от переходов (например, на Рис. 3 на позицию мп направлены дуги от переходов МАМ и МАБ ).

Сеть Петри интерпретируется в некоторой предметной области, в данном случае отображается на систему протоколов нормализованного языка аналитических отчетов.

Каждая позиция соответствует некоторому событию, каждый переход соответствует процессу.

Правила протокола связываются в сеть (граф). На Рис. 3б показаны правила протокола (1, 2 и 3 - правила инициирования процессов; 4, 5 и 6 -правила инициирования событий).

Далее для сети Петри определяются правила выполнения (функционирования) (см. [3]), которые достаточно просты и могут быть проиллюстрированы на примере.

1. Возникновение события отмечается в позиции черной точкой - фишкой (см. Рис. 3, позиция ма , в которой возникло событие с именем ма ).

2. Переход срабатывает (соответствующий процесс запускается), если все позиции имеют фишки (все входные события инициируют соответствующий процесс). На Рис. 3 переход МАМ срабатывает под действием единственного события ма .

3. После срабатывания перехода (окончания процесса) на всех выходных позициях появляются фишки, а все входные позиции освобождаются. На Рис. 3 срабатывает переход МАМ , запускается соответствующий процесс, процесс заканчивает работу, объявляет об этом постановкой фишки в позицию мп (это событие готово запустить процесс МП ), и удаляет фишку из позиции ма .

Работа сети начинается от начальной разметки (начальной конфигурации событий), возникает переход к следующей разметке, при этом инициируются процессы, которые изменяют разметку. Таким образом функционирует сеть Петри.

Поведение сети Петри (и соответственно моделируемого ею объекта) определяется графом переходов, вершины которого суть комбинации событий, а дуги помечены именами переходов (процессов), которые приводят к измененной разметке.

Строится модель асинхронного поведения игроков на рынке ценных бумаг на примере анализа процесса дневных торгов акциями РАО ЕЭС. Элементы сетей

Петри (процессоры, события, процессы, уравнения процессов) получены при обработке суждений (утверждений) экспертов из аналитических отделов компаний АТОН, Альфа-банк, Никойл. Всего было обработано (нормализовано) 31 утверждение.

Далее в статье показывается технология такого моделирования, которая состоит из нескольких этапов.

1. Построение сети Петри по протоколам нормализованных утверждений, фиксирующим элементарные акты поведения игроков рынка.

2. Построение графа переходов, который определяет динамику совместного поведения всех игроков.

3. Построение последовательно-параллельных (ПП) сценариев возможного поведения с выделением последовательных и параллельных (независимых) актов поведения игроков (элементарных процессов). Такой ПП-сценарий позволяет в любой момент времени определить с некоторой вероятностью дальнейшее поведение рынка, чего нельзя сделать по графу переходов. Проблема эквивалентного преобразования графа переходов в ПП-сценарий решена в [4].

4. Заключительным этапом технологии моделирования является построение по ПП-сценарию параллельной блок-схемы алгоритма, необходимой для конструктивного (программного) построения моделирующего алгоритма.

Рассматриваемая модель поведения игроков на фондовом рынке весьма бедна и груба, но позволяет демонстрировать все технологические возможности ее применения для практических целей.

Предварительные результаты данного исследования были изложены в докладе [5].

2. Логика асинхронно взаимодействующих процессов, задающих поведение игроков рынка

Известно, что движение цены, объема продаж и покупок некоторого финансового инструмента определяется совокупностью внебиржевых событий. Поведение игроков зависит от внешних и внутренних событий на бирже. В работе строится модель поведения игроков во время игрового дня (сессии), в которой процессы инициируются только внутренними событиями биржи.

Введем нормализованные понятия (полученные специальной процедурой обработки аналитической текстовой информации), определяющие модель поведения игроков на рынке акций РАО ЕЭС в виде сети Петри ( NP ).

Еще раз акцентируем внимание читателя на элементах, составляющих сеть

При графическом изображении сетей Петри позиции обозначаются кружочками, переходы - линиями (палочками), а отображение I входных позиций переходов и отображение O выходных позиций переходов - направленными дугами. Выполнение события обозначается наличием фишки в соответствующей позиции. При выполнении перехода фишки во входных позициях удаляются и появляются в выходных позициях.

Вводятся нормализованные понятия, которые определяют семантику элементов сетевой модели:

1. Процессор - игрок, участник рынка. Типы процессоров, влияющих на поведение рынка и самих игроков рынка:

а) нерезидент (инвестор с крупными вкладами) - П1;

б) институциональный инвестор (инвестор с вкладами средней величины) - П2;

в) индивидуальный спекулятивно-настроенный участник (мелкие игроки) - П3.

2. Процессы определяют активную и пассивную игровую стратегию игроков (тип игры):

а) игра на восходящем тренде - Б;

б) игра на нисходящем тренде - М;

в) стандартная покупка - СМ;

г) стандартная продажа - СБ.

3. События определяют включение и выключение процессов. В представленной сетевой модели использовались события двух типов:

а) отдать инициативу от процесса (/) к процессу ( j);

б) окончание процесса (/), инициирование процесса (j).

События передачи инициативы аналогичны событиям захвата и освобождения ресурсов, характерных для сетей Петри, моделирующих, например, операционные системы [6].

Далее рассматриваются три модели поведения игроков (схемы игры), которые задаются тремя сетями Петри - NP1, NP2 и NP3. Наиболее общей

является схема игры NP1, в которой участвуют все три игрока - П1, П2 и П3. Схемы игры NP2 и NP3 получаются из NP1 выбрасыванием фрагментов сети, соответствующих процессорам П1 и (П1,П2). На Рис. 2 представлена сеть Петри, моделирующая поведения всех трех игроков рынка. В модели NP1 и моделях, используемых далее, приняты следующие обозначения и их интерпретации.

Переходам сети Петри на Рис. 1 соответствуют следующие процессы: НП - пассивная игра нерезидента;

НАМ - активная игра нерезидента на нисходящем тренде; НАБ - активная игра нерезидента на восходящем тренде; ИП - пассивная игра институционального инвестора;

ИАМ, ИАБ - активная игра институционального инвестора на медведе и быке , соответственно;

МП, МПМ, МПБ - пассивная игра мелких игроков; МАМ - активная игра мелких игроков на медведе ; МАБ - активная игра мелких игроков на быке .

Позициям сети Петри на Рис. 1 соответствуют следующие события: м1 - перехват инициативы нерезидент/институциональный инвестор на медведе ;

м 2 - передача инициативы мелким игрокам на медведе ;

б1 - перехват инициативы нерезидент/институциональный инвестор на быке ;

б 2 - передача инициативы мелким игрокам на быке ;

на - запуск активной игры нерезидента;

нп - запуск пассивной игры нерезидента;

иа - запуск активной игры институционального инвестора;

ип - запуск пассивной игры институционального инвестора;

ма - запуск активной игры мелких игроков;

мп - запуск пассивной игры мелких игроков.

Рис. 1. Сеть Петри, моделирующая поведе- Рис. 2. Сеть Петри NP2 для модели поведение всех трех игроков рынка (модель ). ния, когда нерезиденты покинули рынок.

МАМ

МАБ

ма (а)

Правила NP3

1) ша - ШАБ

2) ша - ШАМ

3) пш - ШАП

4) ШП - пш

5) ШАБ - пш

6) ШАМ - ша

Рис. 3. Сеть Петри NP3 для мало-ликвидных финансовых инструментов и система правил, определяющая NP3 .

Сеть Петри NP2 (Рис. 2) моделирует поведение инвесторов, когда один из игроков (нерезидент) покинул рынок, увел с него значительный объем средств и резко снизил обороты операций.

Сеть Петри ( NP3 на Рис. 3а) моделирует весьма пассивный рынок, характерный для малоликвидных финансовых инструментов, либо ситуацию, когда крупные игроки покинули рынок, и мелкие игроки вяло тестируют биржевой курс, совершая незначительные сделки.

На Рис. 3б приведен пример записи сети Петри NP3 в виде системы правил. Система правил является формальной записью поведения игроков. Правила читаются следующим образом: например, событие ма (активизировались мелкие игроки) инициирует процесс МАБ (активную игру мелких игроков на быке ) - правило 1, либо инициирует процесс МАМ (активную игру мелких игроков на медведе ) - правило 2.

3. Сценарный анализ и предсказание поведения игроков рынка по сетевым моделям Петри

Сценарии, которые порождаются сетевыми моделями Петри, отличаются от обычных (цепочечных) тем, что содержат множество взаимодействующих параллельных процессов, которые управляются комбинацией произошедших событий (разметок). Они называются последовательно-параллельными сценариями (ПП-сценариями). Формально ПП-сценарий представляет собой граф, вершины которого суть разметки, а дуги помечены именами процессов, которые переводят одну разметку в другую и в этом плане не отличается от известного графа переходов. В анализе сетей Петри принято динамику поведения представлять таблицами переходов от одной разметки к другой и соответствующими им графами переходов. На Рис. 4 приведен пример поведения схемы NP2 , представленный таблицей переходов (Рис. 4а) и графом переходов (Рис. 4б), где используются следующие обозначения разметок сети Петри для NP2, определяемых наборами непустых позиций: М0=(иа, ма, м1, б1}, М1=(ип, ма, м1, б1}, М2={иа,

мп, б1}, М3={иа, мп, м1}, М4={ип, мп, б1}, М5={ип, мп, м1}.

В скобках обозначены множества сработавших в рассматриваемый момент событий. Каждой разметке можно сопоставить булевский код, отмечающий 1 сработавшие события и 0 несработавшие.

Отличие графа ПП-сценария от графа переходов заключается в том, что в нем специально выделены процессы, которые могут происходить независимо друг от друга (параллельно).

Порождение последовательно-параллельных сценариев, которые представляют истинное (реальное) поведение игроков на рынке, оказалось весьма сложной проблемой и потребовало специальной теории, алгоритмов и соответствующей методики. Такая методика изложена в [4]. Заметим, что граф ПП-сценария эквивалентен графу переходов, так как содержит те же самые пары разметок, инициирующие ее процессы, и только их. Применение ее для построения последовательно-параллельных сценариев демонстрируется для схемы поведения NP2 . На Рис. 5 представлен набор из восьми базовых элементов, композиции из них порождают все возможные последовательно-параллельные сценарии.

М0 fe

Переходы

M2 M1

ИАБ

(а) (б)

Рис. 4. Представление динамики схемы поведения NP2 таблицей и графом переходов.

m5 £ \ m2 # %

m4 \i m0

Рис. 5. Базовые элементы (2-шаговые ромбы) для построения последовательно-параллельных сценариев поведения схемы NP2 .

Каждый ромб представляет собой элементарную последовательно-параллельную конструкцию, которую можно интерпретировать следующим элементарным поведением схемы NP2. Например, для ромба 3 (Рис. 5) разметка (комбинация событий) M1 порождает на первом шаге два независимых (параллельных) процесса (ИП и МАМ), приводящие к разметкам M0 и M4, на втором шаге соответствующие разметки инициируют два независимых процесса (МАМ и ИП), приводящих к разметке M2 . На Рис. 6 показано множество 4-шаговых сценариев, сконструированных из базовых ромбов (Рис. 5) при помощи операции композиции, которая, по существу, представляет собой склейку элементарных ромбов по тождественным разметкам и ребрам. Порождение всех возможных последовательно-параллельных сценариев возможно параллельным алгоритмом, логическая блок-схема которого показана на Рис. 7.

M4 M5 M4 M2

ттдттдтт Рис. 6. Множество 4-шаговых последо-

(разметка М0) вательно-параллельных сценариев пост- оч-1 роенных из базовых элементов (ромбов).

Рис. 7. Логическая блок-схема параллельного алгоритма, порождающая все множество последовательно-параллельных сценариев схемы поведения NP2 .

Достаточно сложные ПП-сценарии порождаются очень простым параллельным алгоритмом, формально полученным из графа ПП-сценария (методика формальных процедур описана в [4]).

На этой блок-схеме видно, что у каждого процессора стадия активной игры как на медведе , так и на быке сменяется стадией пассивной игры. Поведение модели NP2 состоит из двух характерных (регулярных [4]) сценариев: 1) институциональный инвестор играет на быке , а мелкий участник играет на медведе ; 2) институциональный инвестор играет на медведе , а мелкий участник -

на быке . В пределах любого из сценариев игрок чередует активную и пассивную стадии своей игры независимо от другого игрока.

4. Оценка предсказуемости сценарного поведения игроков рынка

Каждая схема поведения игроков, заданная сетевой моделью Петри, порождает характерное множество последовательно-параллельных сценариев (ПП-сценариев). Для создания эффективной системы игры на рынке важно определить, в какой сценарий вошли игроки рынка, в этом случае поведение игроков будет следовать некоторому сценарному шаблону (патерну). Понятно, что если система находится в состоянии, которое определяется разметкой (комбинацией свершившихся событий), дальнейшее ее поведение можно предсказать, но с некоторой неопределенностью. Введем понятие оценки предсказуемости поведения схемы а. Предсказуемость сценарного поведения в момент t а = 1, если на разметке M t е (М0, М 1?К , Mn ) можно однозначно

выбрать (указать) единственный шаблон (патерн) поведения, а = 1/ n, если по M t

можно указать n различных патернов.

В качестве патернов ПП-сценарного поведения могут быть выбраны к -шаговые ромбы (далее обозначаются символом R с индексом). Для того, чтобы продемонстрировать оценку предсказуемости поведения схемы NP2, выберем 4-

шаговые патерны, показанные на Рис. 7. Далее ПП-сценарий представляется как проекция (вырезка из возможных поведений игроков), состоящую из последовательности патернов R. Понятно, что на самом деле из Mt развивается

целый конус ромбов . Двумерная проекция конуса выбрана только из соображений удобства иллюстрирования. На Рис. 8 показано развитие из разметки M 0 ПП-сценария поведения, построенного из 4-шаговых патернов R.

Понятно, что на нулевом шаге предсказуемость а= 0.5 , ПП-сценарий может пойти либо по патерну R1 либо по R2 . На первом шаге возникает разметка

M1 = (М2 v M3 ), тогда по булевским кодам M2, M3 можно принять решение, по какому патерну (R1 или R2) движется ПП-сценарий. Правило различения патернов R1 и R2

б1 и м1 - различающие события: Если б1 = 1 и м1 = 0, то R1. Если б1 = 0 и м1 = 1, то R2.

Из какой бы разметки мы не начали строить ПП-сценарий, получим аналогичную схему. Отметим лишь, что можно построить схемы, состоящие из вершин M1 и патернов R3 и R4 , вершин M2 и M3 и патернов R5, R6 , R9 и R12, вершин M 4 и M 5 и патернов R7, R8, R10 и Rn.

Приведенный пример показывает, что принцип анализа ПП-сценария, состоящего из n патернов, достаточно прост, объем анализируемой информации растет линейно, так как предсказуемость сценарного поведения релаксирует к а = 1 по мере разворачивания игры. Чем меньше n, тем меньше отклонение а от 1, но тем больше ветвистость дерева ПП-сценария. Чем больше n, тем менее предсказуемо поведение (а сильно отклоняется от 1), тем меньше ветвится дерево сценария, тем яснее становится рисунок игры на бирже.

5. Заключение

Исследования по ПП-сценарному поведению игроков на бирже только дали первые результаты и вызвали большой интерес в кругу математиков, которые занимаются моделированием биржевых процессов. В этой связи необходимо выделить ряд проблем, которые необходимо решить, чтобы ПП-сценарные модели реально использовались для построения систем игры:

1) Разработка надежных и более точных алгоритмов и процедур в технологии нормализации утверждений, которые получаются из аналитических расчетов и служат основанием для построения сетей Петри.

2) Разработка методов формальной идентификации событий при работе с экспертами и аналитиками рынка.

3) Разработка новых понятий риска потерь для ПП-сценариев, учитывающих формальную предсказуемость а , с одной стороны и размытость суждений экспертов, по которым строится сценарий, с другой.

Список литературы

1. Box G., Jenkis G. Time Series Analysis. New York, 1987.

2. Марфи Дж. Технический анализ фьючерсных рынков. Теория и практика. М.: Сокол,

1994.

3. Питерсон Дж. Теория сетей Петри и моделирование систем. М.: Мир, 1984.

4. Шакирова Н.Ф. Формальный аппарат регулярных сетей Петри Обработка информации и моделирование, М.: МФТИ, 2002.

5. N.F. Shakirova, L.N. Stolyarov, and E.M. Stolyarova, Petri Nets for Modeling the Behavior of Speculators Proc. IJCNN02, IEEE Press, 2002, pp.1865-1870.

6. Автоматное управление асинхронными процессами в ЭВМ и дискретных системах. Под ред. В.И. Варшавского. М.: Наука, 1986.